定理 1
\(\displaystyle{
\sum_{k=0}^n
\left(\begin{array}{c}
r+k\cr
r\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
r+n+1\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
}\)
現象をこのように記述することを私は定式化と呼んでいます。
問題を整理してある意味予想も含んでいます。
この式の証明は二項係数の有名な性質を使います。
\(
\left(\begin{array}{c}
n\cr
r\cr
\end{array}\right)
+
\left(\begin{array}{c}
n\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
n+1\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
\)
実際，
\(
\left(\begin{array}{c}
r\cr
r\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
r+1\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
\)
\(
\left(\begin{array}{c}
r+1\cr
r\cr
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
r+1\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
r+2\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
\)
\(
\left(\begin{array}{c}
r+2\cr
r\cr
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
r+2\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
r+3\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
\)
(中略)
\(
\left(\begin{array}{c}
r+n-1\cr
r\cr
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
r+n-1\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
r+n\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
\)
\(
\left(\begin{array}{c}
r+n\cr
r\cr
\end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c}
r+n\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
r+n+1\cr
r+1\cr
\end{array}\right)
\)
両辺加えれば定理が得られた。
例えば，\(
\left(\begin{array}{c}
n\cr
3\cr
\end{array}\right)
=
\dfrac{1}{6}n(n-1)(n-2)
\)
ですから，
これは，次の式のパスカルの三角形を利用した証明になっています。
定理1 の系
\(\displaystyle{
\sum_{k=1}^n k = \dfrac{1}{2}n(n+1)}\)
\(\displaystyle{
\sum_{k=1}^n k(k+1) = \dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)}\)
\(\displaystyle{
\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \dfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}\)
これらの等式を証明する際に
\(k(k+1)-(k-1)k = 2k\) という恒等式を使う方法は有名です。
\(b_0=0\), \(b_{k}-b_{k-1}=a_k\) … ① という関係式があったら
\(\displaystyle{
\sum_{k=1}^n a_k=b_n}\) と和を求める手法はかなり有力です。
というより，
\(S_0=0\), \(S_{k}-S_{k-1}=a_k\) は
数列\(\{a_n\}\) の和の定義式にすぎません。
パスカルの三角形が利用できるのは，二項係数に ① のような関係式があるからです。